摘要：Navier-Stokes 流的失稳性态取决于流体所受到的外力，摩檫力，流动的典型速度以及流体 所在的边界形状。要想对流的失稳性态做深入细致的研究，只能着手于具体的流动。所以，我们研究 Kolmogorov 流及其相关流动的失稳问题。由于湍流的研究，Kolmogorov 曾给出了一个没有边界层的定常流动 u=(cos(y),0) ，这是 2 维周期边界不可压缩 Navier-Stokes 方程的解。为了在数学上便于着手，他建议湍流的研究可以始自于这一个简单流的扰动开始。

在物理上该怎么理解这样的流动？ Bondarenko 等于1979 年给出了这一流动物理实验模型， Kolmogorov 流是由 一金属流在MHD电磁场相互作用下所产生的的定常流动，当电磁场强度增加时，它会失稳而分叉出新的定常流。他们发现， 要使Kolmogorov 流的失稳问题和物理实验相吻合，Hartmann 边界层的摩擦力起到了关键的作用。

此报告主要是粗略地介绍我们多年来对于Kolmogorov流及其相关问题的失稳性态所作的工作，通过对于线性谱的分析得到各种临界 Reynolds数，并证明当 Reynolds 数增长而穿过某些临界值时，基本流失稳而分叉出第二次流（可能是定常流，还有时间周期流动）等，同时也利用数值模拟给出理论结果和物理实验结果的吻合程度。产生出时间周期流的分叉为Hopf分叉。顺便指出，除了 Kolomogorov 流及其相关流动外，其他 Navier-Stokes 流是否能得到产生 Hopf 分叉的证明，现在依然不得而知。