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第~\thepage~页（共~\pageref{thelastpage}~页）}}


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%\newcommand{\markbox}{\noindent\begin{tabular}{|c|c|}\hline
%得分\rule[-3.5mm]{0mm}{10mm} & \hspace{2cm}  \\\hline
%评阅人\rule[-3.5mm]{0mm}{10mm} &  \\\hline\end{tabular}}

\newcommand{\markbox}{\begin{floatingtable}[l]{\hspace{2mm}\begin{tabular}{|c|c|}\hline
得分\rule[-3.5mm]{0mm}{10mm} & \hspace{2cm}  \\\hline
评阅人\rule[-3.5mm]{0mm}{10mm} &  \\\hline\end{tabular}}\end{floatingtable}}

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\begin{document}
\begin{CJK*}{GBK}{song}

\vspace*{-10mm}

\centerline{\zihao{3}\CJKfamily{hei} 2023 年广东省数学竞赛初赛试题参考解答}
\centerline{\zihao{3}\CJKfamily{song}(民办本科类, 2023年11月11日)}

\begin{comment}
\vspace{5mm}
{\zihao{-3}
\centerline{考试形式: \underline{\makebox[1.5cm][c]{闭卷}}\quad
考试时间: \underline{\makebox[1.5cm][c]{180}} 分钟\quad
满分: \underline{\makebox[1.5cm][c]{100}}分}}

\vspace{5mm}
{
\begin{tabularx}{15cm}{|c|X|X|X|X|X|X|X|}\hline
题号   & \centering 一 & \centering 二 & \centering 三 & \centering  四 & \centering 五 & \centering 六  &\ 总分 \\\hline
满分\rule[-3.5mm]{0mm}{10mm} & \centering 25 &\centering 15 &\centering 15   &\centering 15 &\centering  15
&\centering 15  &\ \ 100 \\\hline
得分\rule[-3.5mm]{0mm}{10mm} &    &    &    &    &    &    &  \\\hline
\end{tabularx}}



\vspace{4mm}
{\zihao{-4}
注意:\, 1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边, 写在其它纸上一律无效.\\
 \hspace*{1.7cm} 2. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记.\\
 \hspace*{1.7cm} 3. 如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号.}

\end{comment}

\vspace{5mm}
\CJKindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 以下输入试题内容 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\markbox 一、 (本题 30 分, 每小题 6 分) 填空题:

\vspace{2mm}
1. 极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1^n+2^n+\cdots+100^n\right)^\frac1n$ 的值为 \underline{\hspace{8mm}100\hspace{8mm}}.


\vspace{5mm}
2. 设函数 $f(x)=(e^x-1)(e^{2x}-2)(e^{3x}-3)(e^{4x}-4).$ 则 $f'(0)=$ \underline{\hspace{8mm}$-6$\hspace{8mm}}.

\vspace{5mm}
3. 设 $f(x)=|x(1-x)|,\ -1\leq x\leq 1.$ 则曲线 $y=f(x)$ 的拐点为\underline{\hspace{8mm}0\hspace{8mm}}.

\vspace{5mm}
4. 若常数 $a$ 和 $b$ 使得函数
\begin{align*}
f(x)=\begin{cases}
x\sin x+e^x, & x>0\\
ax+b, & x\leq0
\end{cases}
\end{align*}
是 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数, 则 $a=$\underline{\hspace{8mm}1\hspace{8mm}},  $b=$\underline{\hspace{8mm}1\hspace{8mm}}.

\vspace{5mm}
5. 积分 $\displaystyle\int^\pi_0\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,\D{x}$ 的值为\underline{\hspace{8mm}$\frac{\pi}2$\hspace{8mm}}.



\newpage

\markbox 二、(本题 14 分) 设 $0<a_1<\pi,$ \newline
\hspace*{2cm} $\displaystyle a_{n+1}=(2\sqrt{a_n}-\sin a_n)\sin a_n.$ \newline
求数列 $\{a_n\}$ 的极限.

\textbf{解}\quad 因为 $0<a_1<\pi$, 所以 $0<\sin a_1<a_1<2\sqrt{a_1}.$ \hfill (.......2 分)

由均值不等式, 有
\begin{align*}
a_2=(2\sqrt{a_1}-\sin a_1)\sin a_1\leq\left(\frac{(2\sqrt{a_1}-\sin a_1)+\sin a_1}2\right)^2=a_1.
\end{align*}
因此 $0<a_2\leq a_1.$ \hfill (.......5 分) 

由题中递推公式, 可归纳证明 $0<a_{n+1}\leq a_n.$ 即, $\{a_n\}$ 是单调递减的正数列.
故,  $\{a_n\}$ 收敛. \hfill (.......2 分)

设 $a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n.$ 则 $0\leq a\leq a_1.$ 再由递推公式, 可知
$$a=(2\sqrt{a}-\sin a)\sin a.$$
注意到 $(2\sqrt{a}-\sin a)\sin a\leq \left(\frac{(2\sqrt{a}-\sin a)+\sin a}2\right)^2=a,$
根据均值不等式取等号的条件知, 有 $\sin a=\sqrt a.$ 若 $a\neq0,$ 则 $a=\sin^2a\leq\sin a<a.$ 这是矛盾!
故, $a=0.$ \hfill (.......5 分)



\newpage

\markbox 三、 （本题 14 分）
  设 $p>0,$ 试判断级数\newline
  \hspace*{3cm} $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p+(-1)^{n-1}}$\newline
  的敛散性.

\textbf{解}\quad 因为 $\left\{\frac1{n^p}\right\}$ 是单调递减趋于 $0$ 的数列, 所以根据 Leibniz 判别法可知,
交错级数 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$ 收敛. \hfill (.......4 分)

因而, 级数
 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p+(-1)^{n-1}}$ 与级数
 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}-\frac{(-1)^{n-1}}{n^p+(-1)^{n-1}}\right)$
有相同的敛散性. \hfill (.......2 分)

记
$$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}-\frac{(-1)^{n-1}}{n^p+(-1)^{n-1}}
=\frac1{n^p(n^p+(-1)^{n-1})}=\frac1{n^{2p}\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\right)}.$$

当 $p>\frac12$ 时, 有
\begin{align*}
0<a_n\leq\frac2{n^{2p}}.
\end{align*}
由 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac2{n^{2p}}$ 收敛, 可知 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}a_n$ 收敛.
\hfill (.......4 分)

当 $0<p\leq\frac12$ 时, $a_n\geq\frac1{2n},$ 由 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac1{2n}$ 发散, 可知
$\displaystyle\sum^\infty_{n=1}a_n$ 发散.

于是原级数当 $p>\frac12$ 时收敛, 当 $0<p\leq\frac12$ 时发散. \hfill (.......4 分)

\newpage

\markbox 四、（本题 14 分）设曲线 $C$ 的方程可表示为 $\begin{cases}
x=t^2+1, \\
y=4t-t^2
\end{cases}\ (t\geq0).$

1. 过点 $(-1,0)$ 作曲线 $C$ 的切线, 求切点 $(x_0,y_0),$ 并写出切线的方程;

2. 求此切线与 $C$ (对应于 $x\leq x_0$ 的部分) 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积.

\textbf{解}\quad  因为 $\frac{\D x}{\D t}=2t,\ \frac{\D y}{\D t}=4-2t,$ 所以
$$\frac{\D y}{\D x}=\frac{\frac{\D y}{\D t}}{\frac{\D x}{\D t}}=\frac{4-2t}{2t}=\frac2t-1.$$
\hfill (.......2 分)

因而曲线的切线方程为
$$y-0=\left(\frac2t-1\right)(x+1).$$
\hfill (.......2分)

设 $x_0=t_0^2+1,\ y_0=4t_0-t_0^2.$ 由于点 $(x_0,y_0)$ 在切线上, 应有
$$4t_0-t_0^2=\left(\frac2{t_0}-1\right)(t_0^2+2).$$
整理可得 $t_0^2+t_0-2=0.$ 解得 $t_0=1$ 和 $t_0=-2$ (舍去). 将 $t_0=1$ 代入参数方程, 得切点为
$(x_0,y_0)=(2,3).$ 故, 切线方程为
$$y-3=\left(\frac21-1\right)(x-2),$$
即, $y=x+1.$ \hfill (.......3 分)

2. 注意到 $0\leq t\leq1$ 时, $1\leq x\leq2$ 且 $0\leq y\leq 3.$ 因此, 曲线 $C$ 的方程可表示为
$$y=4\sqrt{x-1}-x+1.$$
\hfill (.......2 分)

根据题设可知, 所求平面图形的面积为
\begin{align*}
S&=\frac12\times 3\times 3-\int^2_1\left(4\sqrt{x-1}-x+1\right)\,\D{x}\\
&=\frac92-\frac83(x-1)^\frac32\Big|^2_1+\frac12(x-1)^2\Big|^2_1\\
&=5-\frac83=\frac73.
\end{align*}
\hfill (.......5 分)

\newpage
\markbox 五、（本题 14 分）设 $0<a<b<\pi.$ 证明不等式
$$\frac{b\sin b+2\cos b+\pi b}{a\sin a+2\cos a+\pi a}>1.$$

\textbf{证明}\quad 令 $f(x)=x\sin x+2\cos x+\pi x\ (0\leq x\leq \pi).$ 有
$f'(x)=x\cos x-\sin x+\pi$ 且 $f'(\pi)=0.$ 因为 $f''(x)=-x\sin x<0\,(0<x<\pi),$ 所以 $f'(x)$ 在
$[0,\pi]$ 上严格单调递减. \hfill (.......6 分)

故, $f'(x)>f'(\pi)=0\ (0<x<\pi).$ 由此可知 \newline
$f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上严格单调递增. \hfill (.......5 分)

于是 $f(b)>f(a)>f(0)=2>0.$ 这可推出 $f(b)/f(a)>1.$ 即,
$$\frac{b\sin b+2\cos b+\pi b}{a\sin a+2\cos a+\pi a}>1.$$
\hfill(.......3 分)

\newpage
 \markbox  六、（本题 14 分） 求在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且满足方式\newline
\hspace*{3cm} $\displaystyle f(x)=x^2+2\int^x_0tf(t)\,\D{t}$\newline
的所有函数 $f(x).$


\textbf{解}\quad 若 $f(x)$ 是满足条件的连续函数, 则 $\int^x_0f(t)\,\D{t}$ 可导. 因而由所给方程知
$f(x)$ 也是可导函数. \hfill (.......4 分)

对方程两端求导, 得
\begin{align*}
f'(x)=2x+2xf(x).
\end{align*}
\hfill (.......5 分)

令 $g(x)=e^{-x^2}(f(x)+1).$ 可知 $g(x)$ 可导, 且
$$g'(x)=e^{-x^2}\left(f'(x)-2xf(x)-2x\right)=0.$$
这说明 $g(x)$ 是常数. 令 $g(x)=C.$ 则有 $f(x)=-1+Ce^{x^2}.$ 由所给方程知 $f(0)=0.$ 因此 $C=1.$
故, 满足所给方程的函数只有 $f(x)=-1+e^{x^2}.$ \hfill (.......5 分)














%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 试题输入完毕  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\label{thelastpage}
\clearpage
\end{CJK*}
\end{document}
